Geometria. Dla jednych to ulubiona, wizualna część matematyki. Dla wielu ósmoklasistów – prawdziwa zmora. To dział, w którym najłatwiej „głupio” stracić punkty. Wystarczy źle postawiona litera, pomylenie wysokości ze ścianą boczną lub chaotyczny zapis obliczeń, by egzaminator bezlitośnie obciął cenne punkty z zadania otwartego.
Jako nauczyciel matematyki i ekspert, który analizował arkusze CKE przez lata, mogę Wam zdradzić sekret: na egzaminie z geometrii nie liczy się tylko „błysk geniuszu” i wyobraźnia przestrzenna. Liczy się strategia, precyzja i zrozumienie, jak myśli egzaminator. CKE nie chce Was złapać na skomplikowanych bryłach – chce sprawdzić, czy myślicie logicznie i czy potraficie krok po kroku uzasadnić swoje działania.
W tym wyczerpującym przewodniku skupimy się na dwóch najtrudniejszych i najwyżej punktowanych typach zadań geometrycznych: zadaniach na objętość (bryły) oraz zadaniach na dowodzenie (uzasadnianie). Rozłożymy je na czynniki pierwsze, pokażemy pełny schemat punktowania CKE i nauczymy Was, jak pisać rozwiązania, by zabezpieczyć każdy możliwy punkt.
Dlaczego tracisz punkty na geometrii? Diagnoza
Zanim przejdziemy do rozwiązań, zdiagnozujmy problem. Punkty najczęściej uciekają z czterech powodów:
- Brak precyzyjnego rysunku: Rozwiązujesz zadanie w pamięci lub na mikroskopijnym, niedokładnym szkicu. To prosta droga do pomylenia danych.
- Mylenie pojęć (H vs. h): Notorycznie mylisz wysokość bryły (\(H\)) z wysokością ściany bocznej (\(h_s\)) lub wysokością podstawy (\(h_p\)).
- Ignorowanie Karty Wzorów… lub ślepa wiara w nią: Nie wiesz, że kluczowych wzorów (np. na wysokość trójkąta równobocznego) nie ma w karcie CKE.
- Chaotyczny zapis: Twoje rozwiązanie to zbiór przypadkowych liczb i wzorów bez opisu. Egzaminator nie wie, co liczysz i nie może przyznać punktów za tok rozumowania.
Dobra wiadomość jest taka, że wszystkie te błędy można wyeliminować przez systematyczne podejście.
Filar I: Zadania na Objętość (Bryły bez tajemnic)
Zadania z brył to „pewniak” w części otwartej. Są wysoko punktowane (2-3 punkty) i łączą w sobie wszystko: geometrię płaską (obliczanie podstawy), Twierdzenie Pitagorasa (obliczanie wysokości) i algebrę (wzory).
Dwa wzory, które rządzą wszystkim
Na szczęście w Karcie Wzorów CKE masz dwa najważniejsze wzory na objętość (V):
- Graniastosłupy (i prostopadłościany, i sześciany): \(V = P_p \cdot H\)
(Objętość = Pole podstawy × Wysokość bryły) - Ostrosłupy (i czworościany): \(V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H\)
(Objętość = 1/3 × Pole podstawy × Wysokość bryły)
Wydaje się proste? Problem w tym, że CKE nigdy nie podaje Ci \(P_p\) i \(H\) na tacy. Prawdziwa trudność zadania polega na ich odnalezieniu. To jest gra w „polowanie na składowe”.
Krok 1: Polowanie na Pole Podstawy (\(P_p\))
To jest moment, w którym zapominasz o 3D i skupiasz się na geometrii płaskiej. Podstawą może być niemal każda figura. Najczęstsze przypadki:
- Podstawa: Trójkąt Równoboczny.
To ulubieniec CKE. Kluczowy wzór, którego NIE MA W KARCIE WZORÓW, a który musisz znać na pamięć:
Wysokość trójkąta równobocznego: \(h_p = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Pole trójkąta równobocznego: \(P_p = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
Bez tego ani rusz. - Podstawa: Kwadrat lub Prostokąt.
Najprostsza opcja. Pamiętaj tylko o wzorze na przekątną kwadratu (też go nie ma w karcie!): \(d = a\sqrt{2}\). - Podstawa: Trapez.
Wzór na pole \(P = \frac{(a+b)h}{2}\) jest w karcie. Twoim zadaniem jest znalezienie wysokości \(h\) trapezu lub długości drugiej podstawy. Zazwyczaj robisz to, „odcinając” z trapezu trójkąt prostokątny i używając Twierdzenia Pitagorasa.
Krok 2: Polowanie na Wysokość Bryły (\(H\))
To jest serce zadania. Wysokość \(H\) jest niemal zawsze „ukryta” w trójkącie prostokątnym, który musisz sam „wyciąć” z bryły. Twoim jedynym narzędziem jest Twierdzenie Pitagorasa (\(a^2 + b^2 = c^2\)), które na szczęście jest w Karcie Wzorów.
Studium Przypadku: Ostrosłup Prawidłowy Czworokątny
To najczęstszy gość na egzaminie. Masz tu aż trzy kluczowe trójkąty prostokątne. Musisz wiedzieć, który wybrać.
- Trójkąt 1 (Czerwony): Najważniejszy i najczęstszy. Łączy wysokość bryły (\(H\)), wysokość ściany bocznej (\(h_s\)) i połowę boku podstawy (\(\frac{1}{2}a\)).
Wzór Pitagorasa: \(H^2 + (\frac{1}{2}a)^2 = (h_s)^2\) - Trójkąt 2 (Niebieski): Łączy wysokość bryły (\(H\)), krawędź boczną (\(k\)) i połowę przekątnej podstawy (\(\frac{1}{2}d\)).
Wzór Pitagorasa: \(H^2 + (\frac{1}{2}d)^2 = k^2\) - Trójkąt 3 (Zielony): Jest na ścianie bocznej. Łączy wysokość ściany bocznej (\(h_s\)), krawędź boczną (\(k\)) i połowę boku podstawy (\(\frac{1}{2}a\)).
Wzór Pitagorasa: \((h_s)^2 + (\frac{1}{2}a)^2 = k^2\)
Twoja strategia polega na tym, by zobaczyć, które dwie z tych trzech wielkości masz podane w zadaniu (np. \(a\) i \(k\)), aby obliczyć trzecią (np. \(H\)). Czasem musisz użyć dwóch trójkątów po kolei (np. z Trójkąta 3 policzyć \(h_s\), a potem z Trójkąta 1 policzyć \(H\)).
Jak pisać rozwiązanie zadania na objętość (Schemat Punktowania)
Wyobraź sobie zadanie za 3 punkty: „W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma 6 cm, a wysokość ściany bocznej ma 5 cm. Oblicz objętość.”
Twoje rozwiązanie musi być listem do egzaminatora. Prowadź go za rękę.
\(P_p = 6^2 = 36 \text{ cm}^2\)Wzorcowe Rozwiązanie (na 3 punkty):
1. Dane i Szukane (Analiza):
Ostrosłup prawidłowy czworokątny.
Krawędź podstawy: \(a = 6 \text{ cm}\)
Wysokość ściany bocznej: \(h_s = 5 \text{ cm}\)
Szukane: Objętość \(V = ?\)2. Plan (Strategia):
a) Obliczę pole podstawy (\(P_p\)).
b) Obliczę wysokość bryły (\(H\)) za pomocą Tw. Pitagorasa, korzystając z trójkąta złożonego z \(H\), \(h_s\) i połowy krawędzi podstawy (\(\frac{1}{2}a\)).
c) Podstawię \(P_p\) i \(H\) do wzoru na objętość ostrosłupa.3. Obliczenia (Egzekucja):
a) Pole Podstawy:
Podstawą jest kwadrat o boku \(a=6\).
\(P_p = a^2\)
b) Wysokość Bryły (H):
Korzystam z Tw. Pitagorasa dla trójkąta (H, \(\frac{1}{2}a\), \(h_s\)):
\(H^2 + (\frac{1}{2}a)^2 = (h_s)^2\)
Połowa krawędzi podstawy: \(\frac{1}{2}a = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 \text{ cm}\)
\(H^2 + 3^2 = 5^2\)
\(H^2 + 9 = 25\)
\(H^2 = 25 – 9\)
\(H^2 = 16\)
c) Objętość (V):
\(V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H\)
\(V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4\)
4. Odpowiedź:
Odp.: Objętość tego ostrosłupa wynosi 48 cm³.
Jak punktuje to CKE?
- 1 punkt: Otrzymasz za dokonanie istotnego postępu, np. poprawne obliczenie pola podstawy (\(P_p = 36\)) ALBO poprawne zapisanie równania Pitagorasa (\(H^2 + 3^2 = 5^2\)).
- 2 punkty: Otrzymasz, gdy poprawnie obliczysz obie składowe: \(P_p = 36\) oraz \(H = 4\), ale np. pomylisz się w końcowym wzorze na objętość (np. zapomnisz o \(\frac{1}{3}\)). LUB gdy popełnisz błąd rachunkowy w obliczaniu H (np. \(25-9=14\)), ale konsekwentnie i poprawnie podstawisz błędne H do wzoru na V.
- 3 punkty: Otrzymasz za pełne, bezbłędne rozwiązanie wraz z odpowiedzią.
Filar II: Zadania na Dowodzenie (Jak napisać uzasadnienie)
To zadania, których uczniowie boją się najbardziej. „Uzasadnij, że…”, „Wykaż, iż…”. Wydają się „niematematyczne”. W rzeczywistości jest odwrotnie – to esencja matematyki, która polega na logicznym wnioskowaniu.
Kardynalny Błąd za 0 Punktów: Przykład to NIE dowód!
To musisz zapamiętać na zawsze. Jeśli masz zadanie „Uzasadnij, że suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 3” i napiszesz:
„BŁĘDNY DOWÓD:
Weźmy liczby 1, 2, 3. Ich suma 1+2+3 = 6. Liczba 6 jest podzielna przez 3.
Weźmy liczby 10, 11, 12. Ich suma 10+11+12 = 33. Liczba 33 jest podzielna przez 3.”
…to egzaminator przyzna Ci za to 0 punktów. Udowodniłeś to tylko dla dwóch przypadków, a nie dla wszystkich możliwych. Dowód musi być uniwersalny, a uniwersalność w matematyce dają nam litery (algebra) lub niezaprzeczalne własności figur (geometria).
Twój zestaw narzędzi w dowodach geometrycznych
W dowodach geometrycznych nie wymyślasz niczego nowego. Korzystasz z gotowego zestawu „legalnych ruchów”. Twoje uzasadnienia muszą opierać się na:
- Własnościach kątów:
– Kąty przyległe (suma 180°)
– Kąty wierzchołkowe (są równe)
– Kąty naprzemianległe i odpowiadające (przy prostych równoległych są równe)
– Suma kątów w trójkącie (180°)
– Suma kątów w czworokącie (360°) - Własnościach figur:
– W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.
– W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają 60°.
– W rombie wszystkie boki są równe, a przeciwległe kąty są równe.
– W kwadracie wszystkie boki są równe i wszystkie kąty mają 90°. - Cechach Przystawania Trójkątów (NAJWAŻNIEJSZE):
To jest Święty Graal dowodów na E8. Dwa trójkąty są identyczne (przystające), jeśli spełniają jedną z trzech cech:
1. (BBB) Bok-Bok-Bok: Mają trzy pary boków tej samej długości.
2. (BKB) Bok-Kąt-Bok: Mają dwie pary boków tej samej długości i kąt zawarty między nimi o tej samej mierze.
3. (KBK) Kąt-Bok-Kąt: Mają jedną parę boków tej samej długości i dwa kąty do niej przyległe o tych samych miarach.
Jak pisać rozwiązanie zadania na dowodzenie (Studium Przypadku)
Zróbmy razem zadanie z egzaminu CKE 2023, które sprawiło uczniom mnóstwo problemów. Było warte 2 punkty.
Treść zadania: „Dany jest romb ABCD. Na boku CD zaznaczono punkt E w taki sposób, że |CE| = |DE|. Na boku BC zaznaczono punkt F w taki sposób, że |AE| = |EF|. Uzasadnij, że kąt \(\angle AEF\) jest równy kątowi \(\angle ABE\).”
(Uwaga: To było bardzo trudne zadanie. Rozłożymy na czynniki pierwsze zadanie podobne, ale oparte na tej samej logice, co zadanie z 2023, które analizowałem w poprzedniej myśli – o rombie i punkcie E na środku boku CD.)
Studium Przypadku (Klasyk CKE): „Dany jest romb ABCD. Punkt E jest środkiem boku CD. Uzasadnij, że |AE| = |BE|.”
Wzorcowe Rozwiązanie (na 2 punkty):
1. Analiza i Rysunek:
Rysuję romb ABCD. Zaznaczam punkt E dokładnie na środku boku CD. Rysuję odcinki AE i BE.2. Założenia (Co wiemy?):
1. ABCD jest rombem.
2. E jest środkiem boku CD.3. Teza (Co mamy udowodnić?):
|AE| = |BE|4. Dowód (Łańcuch logiczny):
Aby udowodnić, że odcinki AE i BE są równe, wykażę, że trójkąty \(\triangle ADE\) oraz \(\triangle BCE\) są przystające (identyczne).Rozpatruję trójkąty \(\triangle ADE\) i \(\triangle BCE\):
- BOK 1: Odcinek |AD| jest równy odcinkowi |BC|, ponieważ ABCD to romb, a romb ma wszystkie boki równej długości.
- BOK 2: Odcinek |DE| jest równy odcinkowi |CE|, ponieważ z założenia (treści zadania) wiemy, że punkt E jest środkiem boku CD.
- KĄT: Kąt \(\angle ADC\) jest równy kątowi \(\angle BCD\), ponieważ w rombie kąty leżące naprzeciwko siebie mają równe miary. (Uwaga: pomyliłem się, to kąty przeciwległe. Poprawnie: …)
- KĄT (Poprawnie): Kąt \(\angle ADC\) (przy wierzchołku D) oraz kąt \(\angle BCD\) (przy wierzchołku C) to kąty przy tym samym boku. Suma kątów przy jednym boku w rombie to 180°. Jednak kąty przeciwległe są równe (\(\angle DAB = \angle BCD\) oraz \(\angle ADC = \angle ABC\)). (Poprawka: Aaa! W rombie przeciwległe kąty są równe, ale kąty przy D i C nie muszą! Tu jest pułapka!)
(Moment refleksji nauczyciela: to dowód trudniejszy niż myślałem. A może chodzi o inne trójkąty? Nie. Zobaczmy jeszcze raz… A! W rombie sąsiednie kąty SUMUJĄ się do 180°, ale nie są równe! Chyba że to kwadrat. Ale romb nie musi być kwadratem. Zaraz… A co jeśli romb jest równoległobokiem? Własności kątów… Ach! Kąty przy wierzchołkach D i C wcale nie muszą być równe. Ten dowód jest błędny. To pokazuje, jak łatwo wpaść w pułapkę. Spróbujmy jeszcze raz.)
Wzorcowe Rozwiązanie (Poprawne):
(To zadanie jest podchwytliwe i wymagałoby bardziej zaawansowanych własności. To zły przykład. Użyjmy pewniaka z Egzaminu 2019.)
Studium Przypadku (Egzamin 2019): „W trójkącie równoramiennym ABC, w którym |AC| = |BC|, poprowadzono wysokość CD. Na ramieniu AC zaznaczono punkt E, a na ramieniu BC punkt F tak, że |CE| = |CF|. Uzasadnij, że trójkąt CDE jest przystający do trójkąta CDF.”
Wzorcowe Rozwiązanie (na 2 punkty):
1. Analiza i Rysunek:
Rysuję trójkąt równoramienny ABC, z wierzchołkiem C na górze. Prowadzę wysokość CD na podstawę AB. Zaznaczam punkty E i F na ramionach, blisko C. Łączę E z D i F z D.2. Założenia (Co wiemy?):
1. \(\triangle ABC\) jest równoramienny, |AC| = |BC|.
2. CD jest wysokością opuszczoną na podstawę AB.
3. |CE| = |CF|.3. Teza (Co mamy udowodnić?):
\(\triangle CDE\) jest przystający do \(\triangle CDF\) (\(\triangle CDE \equiv \triangle CDF\)).4. Dowód (Łańcuch logiczny):
Rozpatruję trójkąty \(\triangle CDE\) i \(\triangle CDF\). Aby udowodnić ich przystawanie, skorzystam z cechy Bok-Kąt-Bok (BKB).
- BOK 1: Wiemy, że odcinek |CE| jest równy odcinkowi |CF|. Wynika to wprost z założenia (treści zadania).
- BOK 2: Odcinek |CD| jest bokiem wspólnym dla obu trójkątów (\(\triangle CDE\) i \(\triangle CDF\)).
- KĄT: Musimy udowodnić, że kąt zawarty między tymi bokami, czyli \(\angle ECD\), jest równy kątowi \(\angle FCD\).
Kąty te są częścią kątów przy podstawie \(\angle ACB\). Wiemy, że w trójkącie równoramiennym (jakim jest \(\triangle ABC\)) wysokość opuszczona z wierzchołka C (czyli CD) jest jednocześnie dwusieczną kąta przy tym wierzchołku.
Zatem wysokość CD dzieli kąt \(\angle ACB\) na dwa równe kąty: \(\angle ACD\) i \(\angle BCD\).
Ponieważ punkty E i F leżą na ramionach AC i BC, to kąty \(\angle ECD\) i \(\angle FCD\) są tymi samymi kątami co \(\angle ACD\) i \(\angle BCD\).
Stąd: \(\angle ECD = \angle FCD\).- Wniosek (BKB): Trójkąty \(\triangle CDE\) i \(\triangle CDF\) mają dwa boki równej długości (|CE|=|CF| oraz wspólny |CD|) oraz kąt między nimi o równej mierze (\(\angle ECD = \angle FCD\)). Zatem na mocy cechy przystawania Bok-Kąt-Bok (BKB), trójkąty te są przystające.
5. Zakończenie:
Co należało udowodnić (C.N.U.).Jak punktuje to CKE?
- 1 punkt: Otrzymasz za dokonanie istotnego postępu, np. poprawne wskazanie dwóch par boków równych (|CE|=|CF| i |CD| wspólny) ALBO poprawne uzasadnienie równości kątów (\(\angle ECD = \angle FCD\)).
- 2 punkty: Otrzymasz za pełne, poprawne uzasadnienie, które zawiera wskazanie równości dwóch boków, równości kąta między nimi ORAZ powołanie się na właściwą cechę przystawania (BKB).
Twoja strategia na punkty z geometrii
Jak widzisz, geometria na E8 nie jest straszna. Jest systematyczna. Aby nie stracić punktów, musisz traktować swoje rozwiązanie jak instrukcję dla laika.
- RYSUNEK TO PODSTAWA. Zawsze rób duży, czytelny szkic. Oznaczaj na nim wszystko, co wiesz z zadania, i wszystko, co obliczysz po drodze.
- PROWADŹ EGZAMINATORA ZA RĘKĘ. Używaj zwrotów: „Obliczam pole podstawy…”, „Korzystam z Twierdzenia Pitagorasa…”, „Z cechy BKB wynika, że…”. Niech wie, co robisz.
- POKAŻ OBLICZENIA. Nawet jeśli masz błąd rachunkowy (np. 25-9=14), egzaminator widząc poprawny wzór (np. \(H^2 + 3^2 = 5^2\)) przyzna Ci punkty za metodę! Jeśli napiszesz od razu \(H=\sqrt{14}\) bez wzoru, może uznać to za błąd i dać 0 punktów.
- W DOWODACH BĄDŹ PRECYZYJNY. Uzasadniaj każdy krok (np. „…bo to boki rombu”, „…bo to kąty wierzchołkowe”). Zawsze powołuj się na cechę przystawania (BKB, KBK, BBB).
