Wzory E8 Matematyka, których musisz nauczyć się na pamięć

Podczas każdego spotkania z ósmoklasistami, gdy zaczynamy omawiać strategię na egzamin z matematyki, widzę ten sam błysk ulgi w ich oczach. Pojawia się, gdy tylko wspominam o „Karcie Wzorów CKE”.

Dla wielu uczniów ta cienka, zadrukowana kartka, którą otrzymają razem z arkuszem, jest jak koło ratunkowe. Panuje powszechne przekonanie, że skoro CKE daje nam wzory, to nie trzeba się ich uczyć. To jeden z najpoważniejszych błędów strategicznych, jakie można popełnić.

Jako nauczyciel, który przeanalizował każdy arkusz egzaminacyjny od 2019 roku, muszę Wam coś wyjaśnić. Karta wzorów to nie „odpowiedzi”. To narzędzie. A co gorsza, jest to narzędzie niekompletne.

Co roku obserwuję, jak uczniowie w stresie tracą cenne minuty, wertując kartę wzorów w poszukiwaniu pola kwadratu lub wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym. Nie znajdują ich. CKE zakłada, że pewne wzory są dla Was tak fundamentalne jak umiejętność czytania poleceń.

W tym artykule oddzielimy mity od faktów. Pokażę Wam, co dokładnie znajduje się w oficjalnej karcie wzorów (czyli czego NIE musicie wkuwać) oraz stworzymy „żelazną listę” wzorów, które musicie znać na pamięć.

Karta Wzorów CKE – Twój przyjaciel, ale nie wybawiciel

Zacznijmy od tego, czym jest oficjalna karta wzorów. To zestawienie bardziej skomplikowanych formuł, które CKE udostępnia, aby wyrównać szanse i sprawdzić nie pamięć, ale umiejętność zastosowania wzoru.

Co znajdziesz w karcie wzorów? (Czyli czego NIE musisz wkuwać)

Lista ta jest publicznie dostępna na stronie CKE i obejmuje:

• Potęgi i pierwiastki: Reguły działań (np. \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)), ale nie znajdziesz tam definicji potęgi.
• Twierdzenie Pitagorasa: \(a^2 + b^2 = c^2\) (wraz z rysunkiem).
• Pola figur płaskich (te bardziej złożone):
  • Pole trójkąta (ogólne: \(\frac{1}{2}ah\))
  • Pole rombu (z przekątnymi: \(\frac{1}{2}ef\))
  • Pole równoległoboku
  • Pole trapezu
• Okrąg i koło:
  • Długość okręgu: \(L = 2\pi r\)
  • Pole koła: \(P = \pi r^2\)
• Bryły (Graniastosłupy i Ostrosłupy):
  • Wzory na objętość (np. \(V = P_p \cdot H\))
  • Wzory na pole powierzchni całkowitej
• Bryły obrotowe (Walec, Stożek, Kula):
  • Wszystkie wzory na objętość i pole powierzchni.

To prawda, lista jest długa. Ale teraz spójrzmy na to, co CKE celowo pomija.

„Wiedza Biletowa” – Wzory, które musisz mieć w głowie

Nazywam tę grupę „wiedzą biletową”. To wzory tak podstawowe, że egzaminatorzy traktują je jak bilet wstępu na egzamin. Bez nich nie rozwiążesz zadań, które wykorzystują wzory z karty.

Oto absolutnie kluczowa lista wzorów do zapamiętania.

Fundamenty Algebry (Musisz umieć na pamięć)

1. Wzory skróconego mnożenia

To jest absolutny numer jeden na liście do zapamiętania. CKE kocha te wzory. Pojawiają się w zadaniach na dowodzenie, w przekształcaniu wyrażeń algebraicznych i w zadaniach z pierwiastkami.

• Kwadrat sumy: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
• Kwadrat różnicy: \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
• Różnica kwadratów: \((a – b)(a + b) = a^2 – b^2\)

Musisz je umieć zastosować w obie strony. Nie tylko rozwinąć nawias, ale też „zwinąć” wyrażenie \(a^2 – b^2\) do postaci iloczynowej.

2. Procenty (Obliczenia i zamiana)

W karcie wzorów nie ma ani słowa o procentach. CKE zakłada, że to podstawowa umiejętność.

• Zamiana procentu na ułamek: \(p\% = \frac{p}{100}\) (np. \(20\% = 0,2\))
• Obliczanie procentu z liczby: \(p\%\) z liczby \(x\) to \(\frac{p}{100} \cdot x\)
• Podwyżka / Obniżka (Najważniejsze):
  • Liczba \(x\) zwiększona o \(20\%\) to: \(x + 0,2x = 1,2x\)
  • Liczba \(x\) zmniejszona o \(30\%\) to: \(x – 0,3x = 0,7x\)
  • Ten „szybki” sposób oszczędza mnóstwo czasu w zadaniach zamkniętych.
• Jakim procentem jednej liczby jest druga: \(\frac{a}{b} \cdot 100\%\)

3. Prędkość, Droga, Czas

Klasyk zadań z treścią. Tego wzoru nie ma i nie będzie w karcie.

• Prędkość: \(V = \frac{s}{t}\)
• Droga: \(s = V \cdot t\)
• Czas: \(t = \frac{s}{V}\)

Najlepiej zapamiętać trójkąt \(s\) na górze, \(V\) i \(t\) na dole. Zasłaniasz to, czego szukasz, i dostajesz wzór.

Fundamenty Geometrii (Musisz umieć na pamięć)

To jest dział, w którym uczniowie tracą najwięcej punktów przez braki w pamięci.

1. Kwadrat

Karta wzorów podaje wzory na prostokąt, ale pomija kwadrat jako jego szczególny przypadek.

• Pole: \(P = a^2\)
• Obwód: \(Obw = 4a\)
• Przekątna (Absolutny „Pewniak”): \(d = a\sqrt{2}\)
  • Dlaczego to ważne? Oszczędza czas. Nie musisz za każdym razem liczyć tego z Pitagorasa. Ten wzór jest kluczowy w zadaniach z przekrojem sześcianu.

2. Trójkąt Równoboczny

To jest najważniejszy wzór, którego nie ma w karcie CKE. Powtórzę: najważniejszy.
Dlaczego? Ponieważ jest podstawą do obliczeń w zadaniach z ostrosłupami prawidłowymi trójkątnymi i graniastosłupami, których podstawą jest trójkąt równoboczny.

• Wysokość: \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)
• Pole: \(P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

Musisz je znać o północy, obudzony w środku snu. Bez nich nie ruszysz wielu zadań z bryłami, które są wysoko punktowane.

3. Własności trójkąta 45-45-90 i 30-60-90

To jest alternatywa dla trygonometrii (której nie ma na E8). CKE uwielbia te trójkąty.

• Trójkąt 45-45-90 (połowa kwadratu):
  • Przyprostokątne: \(a\)
  • Przeciwprostokątna: \(a\sqrt{2}\)
• Trójkąt 30-60-90 (połowa trójkąta równobocznego):
  • Bok naprzeciw kąta 30° (najkrótszy): \(a\)
  • Bok naprzeciw kąta 60° (średni): \(a\sqrt{3}\)
  • Przeciwprostokątna (najdłuższy): \(2a\)

Znajomość tych zależności pozwala rozwiązać zadanie w 30 sekund, zamiast tworzyć skomplikowane układy równań.

Strategia „Wzór z Karty + Wzór z Głowy”

Teraz najważniejsze. Dlaczego te wzory z głowy są tak istotne? Bo one uzupełniają wzory z karty. CKE rzadko tworzy zadania, które da się rozwiązać tylko wzorem z karty.

Przykład 1: Objętość ostrosłupa

• Wzór z karty: \(V = \frac{1}{3}P_p \cdot H\) (Objętość = 1/3 Pole podstawy Wysokość)
• Treść zadania: „Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy 6 i wysokości 10.”
• Problem: Karta daje ogólny wzór na \(V\), ale nie daje wzoru na \(P_p\) (Pole podstawy), którym jest trójkąt równoboczny.
• Rozwiązanie: Musisz sięgnąć do głowy po wzór \(P_p = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).
• Połączenie: \(V = \frac{1}{3} \cdot (\frac{6^2\sqrt{3}}{4}) \cdot 10\).

Widzisz? Wzór z karty jest bezużyteczny bez wzoru z pamięci.

Przykład 2: Przekątna sześcianu

• Wzór z karty: \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\) (Przekątna prostopadłościanu)
• Treść zadania: „Oblicz przekątną sześcianu o krawędzi 5.”
• Problem: Możesz podstawić \(a=5, b=5, c=5\) i liczyć \(d = \sqrt{5^2 + 5^2 + 5^2} = \sqrt{25+25+25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\).
• Szybsze rozwiązanie (z głowy): Uczeń, który wie, że przekątna sześcianu to \(d = a\sqrt{3}\), po prostu pisze \(d = 5\sqrt{3}\) i oszczędza 2 minuty.

Jak skutecznie nauczyć się tych wzorów?

Nie wystarczy, że przeczytasz ten artykuł. Musisz wprowadzić te wzory do pamięci długotrwałej.

1. Stwórz własną „Anty-Kartę Wzorów”.
   Weź jedną kartkę A5. Zapisz na niej tylko te wzory, które wymieniłem w sekcji „Musisz mieć w głowie”. Trzymaj ją przy biurku. To jest Twoja osobista lista „pewniaków”.
2. Ucz się przez zastosowanie, nie przez recytowanie.
   Nie klep wzorów na pamięć. Rozwiązuj zadania. Gdy trafisz na zadanie z trójkątem równobocznym, spróbuj najpierw przypomnieć sobie wzór. Dopiero gdy się poddasz, spójrz na swoją „Anty-Kartę”. Po pięciu takich zadaniach wzór sam wejdzie do głowy.
3. Aktywnie korzystaj z oficjalnej karty CKE.
   Rozwiązując arkusz próbny, miej przy sobie oficjalną kartę CKE. Za każdym razem, gdy potrzebujesz wzoru na objętość stożka, znajdź go na karcie. Dzięki temu w dniu egzaminu będziesz dokładnie wiedział, gdzie co leży.
4. Zrozum, skąd się biorą.
   Nie musisz wyprowadzać każdego wzoru, ale pamiętaj, że:
   • Wysokość trójkąta równobocznego (\(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)) to tylko twierdzenie Pitagorasa.Przekątna kwadratu (\(d = a\sqrt{2}\)) to też Pitagoras.
   
   Zrozumienie tego daje Ci pewność – nawet jeśli zapomnisz wzoru w stresie, potrafisz go sobie wyprowadzić.

Karta wzorów CKE to pomoc, ale poleganie tylko na niej to prosta droga do utraty punktów. Twój sukces na egzaminie z matematyki zależy od współpracy: tego, co CKE daje Ci na kartce, i tego, co Ty przynosisz w głowie.

Potraktuj wzory skróconego mnożenia, wzory na trójkąt równoboczny i kwadrat oraz przeliczanie procentów jako absolutny fundament. To na nim zbudujesz rozwiązania bardziej skomplikowanych zadań, które dadzą Ci wysoki wynik.