Lekcja: Potęgowanie – definicja i podstawy

1. Wprowadzenie

W tej lekcji przypomnisz sobie, czym jest potęgowanie, jak zapisujemy potęgi i jakie mają podstawowe własności. To podstawowa umiejętność potrzebna do pracy z wyrażeniami algebraicznymi.

2. Definicja potęgowania

Potęgowanie to skrócony zapis wielokrotnego mnożenia tej samej liczby przez siebie.

Jeśli mamy liczbę a i wykładnik n, to zapisujemy:

aⁿ

co oznacza:

a × a × a × … × a  (n razy)

3. Terminologia

• a – podstawa potęgi,
• n – wykładnik potęgi.

Przykład:

3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

4. Podstawowe własności potęgowania

a) Potęga zerowa

Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej jest równa 1:

a⁰ = 1   (dla a ≠ 0)

b) Potęga pierwsza

Każda liczba podniesiona do potęgi pierwszej jest równa sobie:

a¹ = a

c) Mnożenie potęg o tej samej podstawie

Podczas mnożenia potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki:

aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

d) Dzielenie potęg o tej samej podstawie

Podczas dzielenia potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki:

aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ   (dla a ≠ 0)

e) Potęgowanie potęgi

Podczas potęgowania potęgi mnożymy wykładniki:

(aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ

f) Potęgowanie iloczynu

Podnosząc iloczyn do potęgi, potęgujemy każdy czynnik osobno:

(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ

g) Potęgowanie ilorazu

Podnosząc iloraz do potęgi, potęgujemy licznik i mianownik osobno:

(a ÷ b)ⁿ = aⁿ ÷ bⁿ   (dla b ≠ 0)

h) Potęga o wykładniku ujemnym

Potęga o wykładniku ujemnym to odwrotność potęgi o wykładniku dodatnim:

a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ   (dla a ≠ 0)

5. Przykłady

• 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
• 5¹ = 5
• 7⁰ = 1
• 3⁵ ÷ 3² = 3³ = 27
• (2³)² = 2⁶ = 64
• (4 × 5)² = 4² × 5² = 16 × 25 = 400
• (2 ÷ 3)³ = 2³ ÷ 3³ = 8 ÷ 27
• 4⁻² = 1 ÷ 4² = 1 ÷ 16

6. Podsumowanie

W tej lekcji nauczyłeś się:

• czym jest potęgowanie,
• jakie są podstawowe zasady działań na potęgach,
• jak zapisywać i upraszczać wyrażenia z potęgami.